גיאורג קנטור: תורת הקבוצות, הביוגרפיה ומתמטיקה המשפחה

גיאורג קנטור (צילום מראה בהמשך המאמר) - מתמטיקאי גרמני שפיתח את התיאוריה של קבוצות והציג את מושג המספרים transfinite, לאין שיעור גדול, אבל שונים זה מזה. הוא גם נתן הגדרה של מספרים סידוריים ואת הקרדינל והקים אריתמטי שלהם.

גיאורג קנטור: ביוגרפיה קצרה

נולד בסנט פטרסבורג 1845/03/03. אביו היה דני פרוטסטנטי גיאורג ולדמאר חזן, היה מעורב בסחר, ב Vol. ח ו בבורסה. אמו, מרי, בם הוא קתולי בא ממשפחה של מוזיקאים בולטים. כאשר בשנת 1856 אביו ג'ורג חלה, המשפחה בחיפוש אחר אקלים מתון ראשונה עבר ויסבאדן אז לפרנקפורט. כישרון מתמטי, הילד הופיעו לפני יום ההולדת ה -15 שלו תוך כדי לימוד בבתי ספר פרטיים ובתי ספר ציבוריים דרמשטט ויסבאדן. בסופו של דבר, גיאורג קנטור שכנע את אביו נחישותו להיות מתמטיקאי ולא מהנדס.

לאחר אימון קצר באוניברסיטת ציריך בשנת 1863. החזן הועבר לאוניברסיטת ברלין ללמוד פיזיקה, פילוסופיה ומתמטיקה. הנה הוא נלמד:

• קרל תיאודור ויירשטראס, אשר ההתמחות בניתוח, כנראה היתה ההשפעה הגדולה ביותר על ג'ורג;
• ארנסט קומר, שלמד את האריתמטיקה הגבוהה ביותר;
• לאופולד קרונקר, על מומחה בתורת המספרים, שלימים בניגוד החזן.

לאחר שבילה סמסטר אחד באוניברסיטת גטינגן בשנת 1866, בשנה הבאה ג'ורג כתב את עבודת הדוקטורט שלו תחת הכותרת "במתמטיקה, אמנות לשאול שאלות יקר יותר בפתרון בעיות" לגבי הבעיה כי קרל פרידריך גאוס טופלה ב Disquisitiones Arithmeticae שלו (1801) . לאחר ללמד בקצרה בבית הספר בברלין לנערות קנטור החל לעבוד באוניברסיטת האלי, שם הוא נשאר עד סוף חייו, הראשון בתור מרצה, מאז 1872 כעוזר פרופסור, ומאז 1879 הראשון כפרופסור.

מחקר

בתחילת סדרת 10 עבודות מתוך 1869 כדי 1873, גיאורג קנטור נחשב בתורת המספרים. העבודה משקפת את התשוקה למקצוע הלימוד שלו ואת ההשפעה של גאוס קרונקר. לפי הצעתו של היינריך היה אדוארד, עמיתיו של החזן בבית האלי, שזיהו את הכשרון המתמטי שלו, הוא פנה אל תורת סדרת טריגונומטריות, אשר הרחיבה את המושג של מספרים ממשיים.

בהתבסס על פונקצית עבודת מורכבות משתנה של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן ב 1854, ב 1870 חזן הוכיח כי פונקציה כזו יכולה להיות מיוצגת רק בדרך אחת - על ידי סדרת טריגונומטריות. תמורה של הקבוצה מספרים (נקודות), אשר לא יסתרו השקפה זו, הובילה אותו, מלכתחילה, בשנת 1872, על ההגדרה של מספרים רציונליים במונחים של רצף מתכנסת של מספרים רציונליים (שברים של מספרים שלמים) ולאחר מכן לתחילת עבודה על מפעל חייו, תורת הקבוצות ואת הרעיון של מספרים transfinite.

תורת הקבוצות

גיאורג קנטור, התיאוריה ומגדירה שמקורו התכתבות עם מהמכון הטכנולוגי של המתמטיקאי בראונשווייג ריכרד דדקינד, היה מיודד עמו מאז הילדות. הם הסיקו כי סטים, סופי או אינסופי, הם ריבוי של אלמנטים (למשל מספרים {0, ± 1, ± 2 ...}) שיש להם נכס מסוים, תוך שמירה על האינדיבידואליות שלהם. אבל כאשר גיאורג קנטור להחיל ללמוד את המאפיינים שלהם התכתבות אחת (למשל, {A, B, C} ל {1, 2, 3}), הוא הבין מהר כי הם נבדלים מידת השתייכותם, אפילו אם זה היה קבוצות אינסופיות e, t.. סט חתיכה או קבוצת משנה של הכולל את אותו מספר של אובייקטים כפי שהוא עצמו. השיטה שלו בקרוב נתנה תוצאות מדהימות.

בשנת 1873, גיאורג קנטור (מתמטיקאי) הראו כי המספרים הרציונליים, למרות אינסופי, הם מנייה, משום שהם יכולים לשים התכתבות אחד-לאחד עם הטבע (כלומר. א 1, 2, 3 ,. ד). הוא הראה כי הקבוצה של מספרים אמיתיים המורכבים אינסופי רציונלים ולא רציונלית, לאינספור. איזה פרדוקס, החזן הוכיח כי הקבוצה כל המספרים אלגברית מכילה אלמנטים רבים כמו הסט של כל המספרים השלמים, וכי מספרים טרנסצנדנטי שאינם אלגבריים, אשר מהווים תת-קבוצה של מספרי רציונליים היא לאינספור ומכאן מספרם עולה על המספרים השלמים וצריך להיחשב אינסופי.

מתנגדים ותומכים

אבל את עבודת החזן, בו הוא ראשון הציגה את התוצאות, לא פורסמה במגזין "Krell" כאחד הסוקרים, קרונקר התנגד. אבל אחרי ההתערבות של דדקינד זה פורסם ב 1874 תחת הכותרת "המאפיינים של כל המספרים אלגברית האמיתיים."

מדע חיים אישיים

באותה שנה, במהלך ירח הדבש עם אשתו, ואלי גוטמן ב אינטרלאקן, שווייץ, החזן נפגשו דדקינד שהעירו בחביבות על התיאוריה החדשה שלו. ג'ורג משכורת היה קטן, אבל עם הכסף אביו, שנפטר ב 1863, שבנה אשתו וחמשת הילדים הביתה. רבות מעבודותיו פורסמו שוודיה בכתב העת החדשה Acta Mathematica, עורך ומייסד שהיה Gösta Mittag-לפלר, בין הראשונים לזהות את הכישרון של המתמטיקאי הגרמני.

תקשורת עם המטאפיסיקה

תורת החזן היה נושא חדש לחלוטין של מחקר הנוגע אינסוף מתמטיקה (לדוגמא, הרצף 1, 2, 3 ,. ד, וקובע מורכבים יותר), אשר תלוי במידה רבה התכתבות אחד-לאחד. חזן פיתוח השיטות החדשות של הגדרת שאלות בנוגע להמשכיות אינסוף שהושאל מעורבב לימודיו.

כאשר טען כי מספרים אינסופיים באמת קיימים, הוא פנה אל הפילוסופיה העתיקה ובימי ביניים לגבי אינסוף בפועל ובכוח, כמו גם את החינוך הדתי מוקדם, אשר הוריו נתנו לו. בשנת 1883, בספרו "יסודות התיאוריה הכללית של קבוצות" קנטור בשילוב הקונספט שלו של המטאפיזיקה של אפלטון.

גם קרונקר, אשר טען כי "יש" מספרים שלמים בלבד ( "אלוהים ברא את המספרים השלמים, והשאר - מעשה ידי אדם"), במשך שנים רבות דחה את טענותיו בתוקף ומנעו מינויו של אוניברסיטת ברלין.

מספרי transfinite

בשנת 1895-1897 GG. גיאורג קנטור במלואו נוצר הרעיון של המשכיות אינסוף שלו, כולל מספרי רצף והראשון במעלה אינסופית, ביצירה המפורסמת ביותר שלו, שפורסם תחת הכותרת "תרומה תורת המספרים transfinite" (1915). עבודה זו כוללת תפיסתו, שאליה הוביל הפגנה כי מערך אינסופי יכול להיות מועבר התכתבות אחד-לאחד עם אחד תת שלה.

מספר קרדינל transfinite הקטן הוא התכוון הכח של כל קבוצה, אשר ניתן לשים אחד על אחד התכתבות עם המספרים הטבעיים. קנטור תיאר אל"ף-אפס שלו. ריבוי transfinite גדול המיועדים י"א אחד, שתיים או א-T. ד כמו כן פתח סודר אריתמטי, אשר היה דומה אריתמטי הסופי. לפיכך, הוא העשיר את מושג האינסוף.

ההתנגדות שבפניה עמדה, ואת הזמן שלקח כדי להבטיח כי רעיונותיו התקבלו במלואן, הסביר את המורכבות של שערוך השאלה העתיקה של מה הוא המספר. קנטור הראה כי קבוצה של נקודות בקו בעל קיבולת גבוהה יותר מאשר א-אפס. זה הוביל את הבעיה הידועה של השערת הרצף - לא קרדינלים בין אל"ף-אפס ואין נקודות חשמל על הקו. בעיה זו במחצית הראשונה והשנייה של המאה ה -20 הוא עניין גדול נחקרה על ידי מתמטיקאים רבים, כרך. H. קורט גדל ופול כהן.

דיכאון

ביוגרפית Georga Kantora 1884 נהרס בגלל מחלת הנפש התחלי שלו, אבל הוא המשיך לעבוד באופן פעיל. בשנת 1897 הוא עזר לקיים את הקונגרס הבינלאומי הראשון של מתמטיקאים בציריך. הן משום שהוא התנגד קרונקר, הוא לעתים קרובות הזדהה עם מתמטיקאי ניצנים הצעירים וניסה למצוא דרך להציל אותם מפני טרדה ידי מורים הרואים עצמם מאוימים על ידי רעיונות חדשים.

הכרה

במפנה המאה עבודתו הוכרה במלואה כבסיס התיאוריה של פונקציות, ניתוח הטופולוגיה. בנוסף, ספר Kantora Georga שמש כמנוף להמשך פיתוח של ספר פורמליסטית ו intuitionist של יסודות לוגיים של מתמטיקה. זה השתנה באופן משמעותי את מערכת ההוראה קשורה לעיתים קרובות עם "המתמטיקה החדשה."

בשנת 1911, החזן היה בין המוזמנים לחגיגת יום השנה ה -500 של אוניברסיטת סנט אנדרוז בסקוטלנד. הוא הלך לשם בתקווה לפגוש ברטרנד ראסל, אשר בעבודתו שפורסם לאחרונה Principia Mathematica התייחסו שוב ושוב המתמטיקאי הגרמני, אבל זה לא קרה. האוניברסיטה הוענקה חזן תואר כבוד, אך עקב מחלה הוא לא הצליח לקבל את הפרס באופן אישי.

החזן בדימוס בשנת 1913 וחיו בעוני ורעב ללחם במלחמת העולם הראשונה. חגיגות לכבוד יום הולדתו ה -70 ב 1915 בוטלו בגלל המלחמה, אבל טכס קטן התקיים בביתו. הוא מת ב 1918/06/01, ב גאלה, בבית חולים פסיכיאטריים, שם הוא בילה את השנים האחרונות של חייו.

גיאורג קנטור: ביוגרפיה. המשפחה

9 אוגוסט, 1874, המתמטיקאי הגרמני נשוי ואלי גוטמן. לזוג נולד 4 בנים ו 2 בנות. הילד האחרון נולד ב 1886 ב חזן רכש בית חדש. לפרנסת המשפחה הוא עזר מורשתו של אביו. בריאותו של חזן השפיעה מאוד על מותו של בנו הצעיר ב 1899 - שכן הוא מעולם לא עזב את הדיכאון.