טור גיאומטרי ונכסיה

טור גיאומטרי חשוב במתמטיקה כמדע, ויישם משמעות, שכן יש היקף רחב מאוד, אפילו מתמטיקה גבוהה, למשל, התיאוריה של הסדרה. המידע הראשון על ההתקדמות הגיע אלינו ממצרים העתיקה, בעיקר בצורה של בעיה ידועה של פפירוס Rhind שבעה אנשים עם שבעה חתולים. וריאציות של משימה זו חזרו פעמים רבות בזמנים שונים מעמים אחרים. אפילו Velikiy לאונרדו Pizansky, המכונה פיבונאצ'י (XIII ג.), דבר אליה שלו "ספר החשבונייה".

אז כי הטור הגיאומטרי יש היסטוריה עתיקה. הוא מייצג רצף מספרי עם חבר הראשונה שונה מאפס, וכל באים, החל עם השני נקבע על ידי הכפלת הנוסחא הישנה הקודמת מספר קבוע, אפס כי נקרא התקדמות מכנה (זה בדרך כלל ייעודי באמצעות המכתב q).
ברור, ניתן למצוא אותה על ידי חלוקת כל מונח עוקב של הרצף אל הקודם, כלומר z 2: z 1 = ... = Zn: z n-1 = .... כתוצאה מכך, להתקדמות בעבודה ביותר (Zn) מספיק שהוא יודע את הערך של המונח הראשון של המכנה ו- y 1 q.

לדוגמא, אפשר z 1 = 7, q = - 4 (q <0), אזי הטור הגיאומטרי הבא מתקבל 7 - 28, 112 - 448, .... כפי שאתה יכול לראות, את הרצף שהתקבל אינו מונוטוני.

יזכיר כי רצף שרירותי של מונוטוני (הגדלה / הקטנה) כאשר אחד מחבריה לעקוב אחרי יותר / פחות מקודמתה. לדוגמה, את הרצף 2, 5, 9, ..., ו -10, -100, -1000, ... - מונוטוני, והשני - טור גיאומטרי יורד.

במקרה שבו q = 1, כל החברים נמצאים להיות, וזה נקרא ההתקדמות המתמדת.

רצף נראתה התפתחות מסוג זה, הוא חייב לספק את תנאי הכרחי ומספיק הבאים, דהיינו: החל השני, כל אחד מחבריה צריך להיות ממוצע גיאומטרי של חברי השכנות.

מאפיין זה מאפשר תחת התקדמות לטווח שרירותי ממצא מסוים שני סמוך.

n-th טווח אקספוננציאלית למצוא בקלות על ידי הנוסחה: Zn = z 1 * q ^ (n-1), חבר הראשון לדעת z 1 ואת q המכנה.

מאז הרצף המספר לו סכום, אז כמה חישובים פשוטים לתת לנו נוסחא לחישוב הסכום של ההתקדמות הראשונה של חברים, כלומר:

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

החלפה, בנוסחא שלה Zn ערך ביטוי z 1 * q ^ (n-1) להשיג נוסחא סכום שנייה של התקדמות: n S = - Z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

האם ראוי לתשומת לב לעובדה המעניינת הבאה: לוח החימר שנמצא בחפירות של עתיקות בבל, אשר מתייחסת השישי. לפנה"ס, מכיל בדרך יוצאת דופן בסכום של 1 + 2 + ... + 22 + 29 שווה ל 2 עד מינוס הכח העשירי 1. ההסבר של תופעה זו טרם נמצא.

נציין אחד המאפיינים של סדרה הנדסית - יצירה מתמדת של חבריה, במרווחים במרחקים שווים מקצות ברצף.

חשיבות מיוחדת מנקודת מבט מדעית, דבר כזה כמו טור גיאומטרי אינסופי וחישוב הסכום שלה. בהנחה (yn) - מפגש שאלות המכנים גיאומטרית התקדמות שיש, העומדת בתנאי | q | <1, הסכום שלה ייקרא הגבול לכיוון שבו אנו כבר יודעים את הסכום הראשוני חבריה, עם עלייה בלתי מוגבלת של n, אז יש בזה מתקרב לאינסוף.

מצא סכום זה כתוצאה של שימוש בנוסחה:

S n = y 1 / (1- q).

וגם, כפי שהוכיח ניסיון, את הפשטות לכאורה של התנהלות זו חבויה פוטנציאל יישום ענק. לדוגמא, אם אנו בונים רצף של ריבועים על פי האלגוריתם הבא, המחבר את האמצע של הקודם, אז הם יוצרים סדרה הנדסית אינסופית מרובעת בעל מכנה 1/2. באותה צורת ההתקדמות בתחום משולש, המתקבלים בכל שלב של הבנייה, ואת הסכום שלה הוא שווה לשטח של הכיכר המקורית.