דרכים שונות כדי להוכיח את משפט פיתגורס: דוגמאות, תיאור, ביקורות

דבר אחד ממאה אחוז בטוח שהשאלה, אשר שווה לריבוע של היתר, כל מבוגר לענות באומץ: "סכום הריבועים של הרגליים" משפט זה שנשאב אל תוך המוחות של כל אדם משכיל, אבל אתה פשוט לשאול מישהו כדי להוכיח את זה, וייתכנו קשיים. לכן, הבה נזכור ולשקול דרכים שונות כדי להוכיח את משפט פיתגורס.

סקירה של הביוגרפיה

משפט פיתגורס הוא מוכר כמעט לכולם, אבל מסיבה כלשהי, חיי אדם, אשר הפכה אותו אל האור, הוא לא כל כך פופולרי. זה ניתן לתקן. לכן, לפני שאתה לחקור את הדרכים השונות כדי להוכיח את משפט פיתגורס, עלינו להכיר בקצרה עם האישיות שלו.

פיתגורס - פילוסוף, מתמטיקאי, פילוסוף במקור מיוון עתיק. היום זה מאוד קשה להבחין הביוגרפיה שלו מן האגדות שהוקמו לזכרו של האיש הגדול הזה. אבל המסקנה היא מיצירותיהם של חסידיו, Pifagor Samossky נולד באי סאמוס. אביו היה סתת נורמלי, אבל אמא שלו באה ממשפחה אצילית.

לפי האגדה, לידת פיתגורס חזו אישה בשם פיתיה, שלכבודו וקרא לילד. על פי התחזית שלה לידה של ילד יביא הרבה תועלת וטוב לאנושות. זה בדיוק מה שהוא עשה.

לידתה של המשפט

בנעוריו, פיתגורס עבר סאמוס למצרים להיפגש עם חכמי מצרים הידועים. אחרי הפגישה איתם, הוא אושפז האימונים, ושהוא יודע בדיוק היכן כל ההישגים הגדולים של פילוסופיה, מתמטיקה ורפואה המצריות.

זה היה כנראה במצרים פיתגורס בהשראת ההוד והיופי של הפירמידות ויצר התאוריה הגדולה שלו. אולי זה יפתיע את הקוראים, אך היסטוריונים מודרניים מאמינים כי פיתגורס לא להוכיח את התיאוריה שלו. ורק הנחיל ידע מחסידיו שסיימו מאוחר כל החישובים המתמטיים הדרושים.

מה שזה לא יהיה, זה ידוע כעת יותר משיטה אחת של הוכחה של משפט זה, אבל כמה. היום אפשר רק לנחש איך היוונים עשו החישובים שלהם, כך שיש דרכים שונות להסתכל על ההוכחה של משפט פיתגורס.

משפט פיתגורס

לפני תחילת כל חישוב, אתה צריך לגלות איזו תאוריה להוכיח. משפט פיתגורס הוא: "בשינה משולשת שבו אחד הזוויות היא ^כ 90, את סכום הריבועים של הרגליים שווה לריבוע של היתר."

בסך הכל יש 15 דרכים שונות כדי להוכיח את משפט פיתגורס. זהו נתון גבוה למדי, אז שים לב הפופולרי ביותר של אותם.

שיטה אחת

ראשית, נסמן שאנחנו מקבלים. נתונים אלה יורחבו לשיטות אחרות של הוכחה של משפט פיתגורס, אז זה נכון לזכור את כל הכינויים הקיימים.

תניח משולש ישר זווית נתונה עם רגלי a, וכן אלכסון שווה ג. השיטה הראשונה מבוססת על ראיות לכך, בגלל המשולש נכון הדרוש כדי לסיים את הכיכר.

כדי לעשות זאת, אתה צריך אורך רגל של קטע שווה לסיים את רגליו, ולהיפך. אז זה צריך שני צדדים שווים של הכיכר. אנחנו יכולים לצייר רק שני קווים מקבילים, והכיכר מוכנה.

בפנים, הדמויות וכתוצאה צריכות לצייר ריבוע אחר עם צד השווה האלכסון של המשולש המקורי. לשם כך הקודקודים של AC ותקשורת יש צורך לצייר שני קטעים שווים עם מקבילים. לפיכך קבלת שלושת הצדדים של הכיכר, שאחד מהם הוא מלבני המקורי משולשים אלכסון. דוקרטי נותר רק הקטע הרביעי.

בהתבסס על הדפוס וכתוצאה ניתן להסיק כי האזור החיצוני של הכיכר הוא שווה (a + b) ^2. אם אתה מסתכל לתוך הדמויות, אתה יכול לראות כי בנוסף הכיכר הפנימית יש לו ארבעה משולשים ישרי זווית. שטח כל הוא 0,5av.

לכן, באזור שווה: 4 * 0,5av + C ² = a ² + 2av

לפיכך, (א b +) ² = c ² + 2av

לכן, עם ² = a ² + ²

זה מוכיח את המשפט.

שיטה שנייה: משולשים דומים

נוסחא זו היא ההוכחה של משפט פיתגורס נגזרה על בסיס אישור גיאומטרית הקטע משולש אלה. הוא קובע כי הרגליים של משולש ישר - הוא מידתי הממוצע ל האלכסון שלה ואת אורך האלכסון, הנובע הקודקוד ^90.

הנתונים הראשוניים זהים, אז בואו נתחיל עם ההוכחה. צייר בניצב מצידי קטע CD AB. בהתבסס על אישור כאמור הרגליים של משולשים שווים:

AC = √AV * לספירה, CB = DV * √AV.

כדי לענות על השאלה של איך להוכיח את משפט פיתגורס, ההוכחה צריכה להיות מנותבת על ידי מתיישב-השוויון הוא.

AC ² = AB * BP ו CB ² = AB * DV

עכשיו אתה צריך להוסיף את אי השוויון הנובע.

AU ^{2 2} + CB = * AB (ET * BP) שבו BP = AB + ET

מתברר כי:

AC ² + ² = CB AB * AB

ולכן:

AU ^{2 2} + CB = AB ²

ההוכחה של משפט פיתגורס ואת הדרכים השונות של הפתרון שלה צריכות להיות גישה רבה פנים לבעיה זו. עם זאת, אפשרות זו היא אחת הפשוטה.

שיטה נוספת של חישוב

תיאור של דרכים שונות כדי להוכיח את משפט פיתגורס עשוי להיות מה להגיד, כל עוד רוב אינם עצמם החלו להתאמן. רבים מן הטכניקות כרוכות לא רק במתמטיקה, אלא גם בבניית דמויות החדשות המשולשות המקורי.

במקרה זה יש צורך לסיים את הרגל לפני הספירה של עוד משולש ישר זווית IRR. אז עכשיו יש שני משולשים עם רגל השמש הנפוצה

בידיעה כי באזורים של דמויות דומות יש יחס כמו הריבועים של ממדים ליניארי הדומים שלהם, אז:

S _ABC * ² - S ² * _HPA = * S ו- ² _AVD - S ² * A _VSD

_Abc * S ⁽² -c ²⁾ = a ² * (S _AVD -S _VVD)

-כדי ^{2 2} = a ²

² = a ² + ²

בגלל שיטות שונות של הוכחה של משפט פיתגורס ועד כיתה 8, אפשרות זו אינה נראית מתאימה, אתה יכול להשתמש בהליך הבא.

הדרך הקלה ביותר כדי להוכיח את משפט פיתגורס. ביקורות

הוא האמין ידי הסטוריונים, שיטה זו שמשה ראשונה עבור הוכחת המשפט ביוון עתיק. הוא קל כפי שהוא אינו דורש שום תשלום. אם אתה מצייר תמונה נכונה, הוכיח את הטענה כי ² + ² = c ^2, זה יהיה לראות בבירור.

תנאים והגבלות החלמתי על התהליך הזה יהיו שונים במקצת מזו הקודמת. כדי להוכיח את משפט, להניח משולש ישר זווית ABC - שווה שוקיים.

אלכסון AC להשתלט לכיוון הכיכר docherchivaem משלושה צדדים שלה. מלבד זה יש צורך להוציא שני קווים אלכסוניים כדי ליצור מרובע. לכן, כדי לקבל ארבעה משולשים שווי צלעות בתוכו.

By Catete AB ו CD כנדרש דוקרטי בכיכר וחזקה על קו אלכסוני אחד בכל אחד מהם. צייר קו מן הקודקוד הראשון, שנייה - מ ג

עכשיו אנחנו צריכים לקחת מבט מקרוב על התמונה המתקבלת. כמו האלכסון AC הוא ארבעה משולשים שווים המקורי, אך Catete שני, הוא מדבר על אמיתות משפט זה.

אגב, בזכות הטכניקה הזו, ההוכחה של משפט פיתגורס, ו נולדה הביטוי המפורסם: "מכנסיים פיתגורס לכל הכיוונים שווים"

ג'יי Proof. גארפילד

Dzheyms Garfild - הנשיא עשרים של ארצות הברית של אמריקה. בנוסף, הוא השאיר את חותמו בהיסטוריה כשליט של ארצות הברית, הוא היה גם אוטודידקט מוכשר.

בתחילת הקריירה שלו, הוא היה מורה רגיל בבית הספר העממי, אך עד מהרה מנהל באחד המוסדות להשכלה גבוהה. הרצון להתפתחות עצמית ואיפשר לו להציע תיאוריה חדשה של הוכחה של משפט פיתגורס. משפט ודוגמה של הפתרון שלה הוא כדלקמן.

ראשית יש צורך לצייר על משולש מהלבן נייר שני כך רגל אחת מהן היה המשך של זה האחרון. הקודקודים של המשולשים האלה צריכים להיות מחוברים בסופו של דבר מקבל טרפז.

כידוע, באזור של טרפז שווה המוצר של חץ סכום הבסיס שלה ואת הגובה.

S = a + b / 2 * (a + b)

אם ניקח בחשבון את הטרפז שנוצר, כדמות מורכבת משלושה משולשים, שטחו ניתן למצוא כדלקמן:

S = aw / 2 * 2 + ^2/2

עכשיו יש צורך להשוות את הביטוי שני המקורי

2av / 2 + ג / 2 = (a + b) ^2/2

² = a ² + ²

אודות פיתגורס ואיך להוכיח שאתה לא יכול לכתוב ספר לימוד כרך אחד. אבל האם זה הגיוני כאשר ידע כי לא ניתן ליישם הלכה למעשה?

יישום מעשי של משפט פיתגורס

למרבה הצער, בתכנית הלימודים המודרניים מספק עבור שימוש משפט זה רק בעיות גיאומטריות. בוגרים בקרוב לעזוב את קירות בית הספר, ולא בידיעה, וכיצד הם יכולים ליישם את הידע והכישורים שלהם בפועל.

למעשה, להשתמש משפט פיתגורס בחיי היומיום שלהם יכול כל אחד. ולא רק בפעילות מקצועית, אלא גם בעבודות בית רגילות. קחו כמה מקרים שבהם משפט פיתגורס וכיצד להוכיח שהוא יכול להיות נחוץ מאוד.

משפטי תקשורת ואסטרונומיה

נראה כי הם יכולים להיות מקושרים הכוכבים ומשולשים על הנייר. למעשה, אסטרונומיה - תחום מדעי שבו נעשה שימוש נרחב משפט פיתגורס.

לדוגמה, לשקול את התנועה של אלומת האור בחלל. זה ידוע כי האור נע בשני הכיוונים באותה מהירות. מסלול AB, אשר מעביר את אלומת האור נקרא l. וחצי מהזמן הדרוש לאור להגיע מנקודה א 'לנקודה ב', שאנו מכנים t. והמהירות של הקרן - ג. מתברר כי: c * t = l

אם אתה מסתכל על קורה אותו זה של מטוס אחר, למשל, ספינת החלל, אשר נעה עם מהירות v, אז מתחת לגופי פיקוח כזה תשתנה במהירות שלהם. עם זאת, אפילו האלמנטים הקבועים יעברו עם v מהיר בכיוון ההפוך.

תניח אוניית קומיקס צף תקינה. אז את הנקודות A ו- B, אשר נקרע בין הקורה יעברו לצד שמאל. יתר על כן, כאשר מהלכי הקרן מנקודת א 'לנקודה ב', מנקודת א זמן לעבור, ובהתאם לכך, האור הגיע לכדי ג נקודה חדש כדי למצוא מחצית המרחק שבו נקודת עבר, יש צורך להכפיל את המהירות של הספינה בזמן נסיעות קרן וחצי (t ").

ד = t "נ *

וכדי למצוא כמה רחוק בזמן הזה הצליח לעבור קרן האור יש צורך לסמן את נקודת האמצע של אשור החדש של והביטוי הבא:

s = C * t '

אם אנו מדמיינים כי נקודת אור C ו- B, כמו גם את ספינת החלל - הוא העליון של משולש שווה שוקיים, הקטע מן הנקודה אל האונייה יהיה לפצל אותה לשני משולשים ישרי זווית. לכן, הודות משפט פיתגורס ניתן למצוא את המרחק כי הצליח להעביר קרן אור.

s = l ^{2 2} + ד ²

דוגמא זו היא, כמובן, לא את הטוב ביותר, משום שרק מעטים יכולים להיות ברי מזל מספיק כדי לנסות את זה בפועל. לכן, אנו רואים את היישומים ארציים יותר של משפט זה.

שידור אות נייד רדיוס

החיים המודרניים הוא בלתי אפשרי לדמיין ללא קיומו של הטלפון החכם. אבל כמה מהם יצטרך PROC אם הם לא הצליחו להתחבר מנוי הדרך ניידת?!

איכות תקשורת ניידת תלוי ישירות בגובה שבו האנטנה להיות המפעיל הסלולרי. כדי להבין כמה רחוק ממגדלי הטלפון הניידים יכול לקבל את האות, אתה יכול להשתמש משפט פיתגורס.

נניח שאתה רוצה למצוא את הגובה המשוער של מגדל קבוע, כך שהוא יכול להפיץ את האות ברדיוס של 200 קילומטרים.

AB (בגובה של מגדל) x =;

שמש (רדיוס Signal) = 200 ק"מ;

OC (רדיוס של כדור הארץ) = ק"מ 6380;

כאן

OB = OA + AVOV = r + x

החלת משפט פיתגורס, נגלים מה גובה מגדל המינימום צריך להיות 2.3 קילומטרים.

משפט פיתגורס בבית

למרבה הפלא, משפט פיתגורס יכול להיות שימושי גם בעניינים מקומיים כגון קביעת הגובה של תא הקבינט, למשל. במבט ראשון, אין צורך להשתמש בחישובים מורכבים כאלה, כי אתה יכול פשוט לקחת את המידות שלך עם סרט מדידה. אבל רבים תוהים מדוע תהליך ההבניה יש בעיות מסוימות, אם כל המדידות נלקחו מעל בדיוק.

העובדה היא כי בארון עומד במצב אופקי ולאחר מכן עלה רכוב אל הקיר. לכן, הקיר לדופן הארון בתהליך של הרמת העיצוב חייב לזרום בחופשיות גובה, ומרחבים אלכסוניים.

נניח שיש לך בארון של עומק 800 מ"מ. המרחק מן הרצפה ועד התקרה - מ"מ 2600. וחרש-עץ מנוסים אומר כי גובה של המתחם צריך להיות 126 מ"מ פחות מגובה של החדר. אבל למה על 126mm? קח למשל את הדוגמא הבאה.

תחת ממדים אידיאליים של ארון יבדוק את הפעולה של משפט פיתגורס:

√AV AC = ² + ² √VS

AU = √2474 ² 800 ² = 2600 מ"מ - כל להתכנס.

נניח, את גובה הארון אינו שווה ל 2474 מ"מ ו מ"מ 2505. ואז:

AU = √2505 ² + √800 = 2629 מ"מ ^2.

כתוצאה מכך, הממשלה הזו אינה מתאימה להתקנה בחדר. ממתי הרים בתנוחה זקופה שלה יכול לגרום נזק לגופו.

אולי נחשב דרכים שונות כדי להוכיח את משפט פיתגורס על ידי מדענים שונים, אנו יכולים להסיק שזה יותר נכון. עכשיו אתה יכול להשתמש במידע בחיי היומיום שלהם, ולהיות בטוח לחלוטין כי כל החישובים הם לא רק שימושיים, אבל גם נכונים.