תורת ההסתברות. הסתברות של אירוע, אירוע מזדמן (תורת ההסתברות). התפתחויות עצמאיות בקנה בתורת ההסתברות

אין זה סביר כי הרבה אנשים חושבים שזה אפשרי לספור אירועים, אשר במידה מסוימת בשוגג. כדי לשים את זה במילים פשוטות, האם זה ריאלי לדעת באיזה צד של הקוביה בתוך הקוביות יפלו בפעם הבאה. זה היה השאלה הזאת לשאול שני מדענים גדולים, הניח את היסודות למדע הזה, התאוריה של הסתברות, הסתברות לאירוע שבו למד בהרחבה מספיק.

דור

אם תנסה להגדיר מושג כגון תורת ההסתברות, אנחנו מקבלים את הדברים הבאים: זהו אחד הענפים של מתמטיקה החוקר את הקביעות של אירועים אקראיים. ברור, הרעיון הזה באמת אינו חושף את המהות, אז אתה צריך לשקול את זה ביתר פירוט.

ברצוני להתחיל עם המייסדים של התיאוריה. כפי שהוזכר לעיל, היו שני, כי לפי Ferma ו Blez פסקל. הם היו הראשונים שניסו באמצעות נוסחאות וחישובים מתמטיים כדי לחשב את התוצאה של אירוע. באופן כללי, את יסודות המדע הזה הוא אפילו בימי הביניים. בעוד הוגים ומדענים שונים ניסו לנתח את משחקי הקזינו כגון רולטה, קוביות, וכן הלאה, ובכך לבסס דפוס, ואת אובדן אחוז מספר. הקרן גם הונחה בסוף המאה השבע-עשרה היו המלומדים הנ"ל.

בתחילה, העבודה שלהם לא ניתן לייחס את ההישגים הגדולים בתחום זה, אחרי הכל, מה הם עשו, הם היו פשוט עובדות אמפיריות וניסויים היו בבירור ללא שימוש בנוסחאות. במשך הזמן, התברר להשיג תוצאות מצוינות, אשר הופיע כתוצאה של התבוננות מצוות השחקנים של העצמות. הוא מכשיר זה סייע להביא את הנוסחא בהתחלה ברורה.

תומך

שלא לדבר אדם כגון כריסטיאן הויגנס, בתהליך של לימוד הנושא הנושאת את שמו של "תורת ההסתברות" (הסתברות של אירוע מדגיש את זה במדע הזה). אדם זה הוא מאוד מעניין. הוא, כמו גם מדענים שהוצגו לעיל הם ניסו בצורת נוסחאות מתמטיות כדי להסיק דפוס של אירועים אקראיים. ראוי לציין כי הוא לא לשתף אותו עם פסקל פרמה, כי הוא כל עבודתו אינה חופפת המוחות האלה. הויגנס נגזר מושגי היסוד של תורת ההסתברות.

עובדה מעניינת היא כי עבודתו הגיעה הרבה לפני התוצאות של יצירות חלוצות, לייתר דיוק, עשרים שנה קודם לכן. ישנם רק בין המושגים המזוהים היו:

• כמו הרעיון של סיכוי ערכי הסתברות;
• ציפייה עבור המקרה הדיסקרטי;
• משפטי של חיבור וכפל של הסתברויות.

כמו כן, אחד לא יכול לשכוח Yakoba Bernulli, שגם תרם המחקר של הבעיה. דרך משלהם, אף אחד מהם בדיקות עצמאיות, הוא היה מסוגל לספק הוכחה של חוק המספרים הגדולים. בתורו, מדעני פואסון ו Laplace, שעבד בתחילת המאה תשע עשר, הצליח להוכיח את המשפט המקורי. מאותו רגע לנתח שגיאות תצפיות שהתחלנו להשתמש תורת ההסתברות. המפלגה סביב המדע הזה לא יכול ומדענים רוסים, ולא מרקוב, צ'ביצ'ב ו Dyapunov. הם מבוססים על הגאונים הגדולים עשו עבודה, איבטחו את הנושא כמו ענף של המתמטיקה. עבדנו הנתונים האלה בסוף המאה התשע עשרה, ובזכות תרומתם, הוכחו תופעות כגון:

• חוק המספרים הגדולים;
• תורת שרשראות מרקוב;
• משפט הגבול המרכזי.

אז, את ההיסטוריה של לידת המדע עם האישים המרכזיים שתרמו אותו, הכל פחות או יותר ברור. עכשיו זה זמן כדי להשלים את כל העובדות.

מושגים בסיסיים

לפני שתיגע החוקים והמשפטים צריכים ללמוד את המושגים הבסיסיים של תורת הסתברות. אירוע זה תופס תפקיד דומיננטי. נושא זה הוא די נרחב, אך לא יהיה מסוגל להבין את כל שאר בלעדיו.

אירוע ב תורת ההסתברות - זה כל סט של תוצאות הניסוי. מושגים של תופעה זו אין מספיק. לפיכך, מדען Lotman עבודה בתחום זה, הביע שבמקרה הזה אנחנו מדברים על מה "קורים, למרות שזה לא יכול לקרות."

אירועים אקראיים (תורת הסתברות מקדישה תשומת לב מיוחדת אליהם) - הוא מושג כרוך לחלוטין כל תופעה שיש את האפשרות להתרחש. לחלופין, להיפך, תרחיש זה לא יכול לקרות בביצוע מגוון רחב של מצבים. כדאי גם לדעת כי לכבוש את כל הנפח של התופעות המתרחשות רק אירועים אקראיים. תורת ההסתברות עולה כי כל התנאים ניתן לחזור כל הזמן. זוהי ההתנהגות שלהם כבר נקראה "ניסיון" או "מבחן".

אירוע משמעותי - מדובר בתופעה כי הוא מאה אחוז במבחן הזה לקרות. לפיכך, במקרה הבלתי אפשרי - זה משהו לא קורה.

שילוב פעולה בזוגות (כמקובל במקרה A ו- B מקרה) היא תופעה המתרחשת בו זמנית. הם מכונים AB.

כמות זוגות אירועים A ו- B - C הוא, במילים אחרות, אם לפחות אחד מהם יהיה (A או B), אתה מקבל ג התופעה המתוארת נוסחה כתובה כמו C = A + B.

התפתחויות לא תואמות את התאוריה של הסתברות מרמזות כי שני המקרים הם דרים בכפיפה אחת. במקביל הם בכל מקרה לא יכול להתרחש. אירועים משותפים תורת הסתברות - זה antipode שלהם. המשמעות היא שאם קרה, זה אינו מונע ג

נגד האירוע (תורת ההסתברות רואה אותם בפירוט רב), קל להבין. עדיף להתמודד איתם השוואה. הם כמעט אותו התפתחויות בקנה כמו תורת ההסתברות. עם זאת, ההבדל שלהם הוא שהאחד ריבוי התופעות ממילא אמור להתרחש.

לא פחות אירועים סבירים - אלו פעולות, חששו להשנות שווים. כדי להבהיר, אתה יכול לדמיין שהם יטילו מטבע: הפסד של אחד הצדדים שלה שוות ההסתברויות אובדן אחרים.

קל לשקול את הדוגמה של העדפת האירוע. אניח שיש אפיזודה ב א הפרק הראשון - גליל של קובייה עם כניסתו של מספר אי זוגי, והשני - את המראה של המספר חמש על הקוביות. ואז מתברר כי A הוא V. המועדף

אירועים עצמאיים ב תורת ההסתברות מוקרנים רק על שניים או יותר פעמים ולערב עצמאית של כל פעולה מן הצד השני. לדוגמה, א '- ב השלכת זנבות מטבע הפסד, ו- B - ג'ק dostavanie מן הסיפון. יש להם אירועים עצמאיים תורת ההסתברות. מרגע זה התברר.

אירועים תלויים תורת הסתברות הוא גם מותר רק עבור הסט שלהם. הם רומזים תלות של אחד על האחר, כלומר, התופעה יכולה להתרחש רק במקרה כאשר א 'כבר התרחש או, להיפך, לא קרתה כאשר הוא - התנאי העיקרי B.

התוצאה של הניסוי האקראי המורכב מרכיב בודד - זה אירועים יסודיים. תורת הסתברות אומרת שזה תופעה נעשית פעם אחת בלבד.

נוסחא בסיסית

לפיכך, האמור לעיל נחשבו את הקונספט של "אירוע", "תורת ההסתברות", הגדרות של מונחי מפתח של המדע זו ניתנה גם. עכשיו הגיע הזמן להכיר את עצמו עם נוסחאות חשוב. ביטויים אלה אישרו באופן מתמטי את כל המושגים המרכזיים בנושא כה קשה כמו תורת ההסתברות. הסתברות של אירוע משחק תפקיד עצום.

עדיף להתחיל עם נוסחאות בסיסיות של קומבינטוריקה. ולפני שאתה מתחיל אותם, כדאי לקחת בחשבון מה זה.

קומבינטוריקה - בעיקר ענף של מתמטיקה, בה הוא לומד מספר עצום של מספרים שלמים, ואת גלגוליו השונים של שני המספרים והאלמנטים שלהם, הנתונים שונים, וכו ', מה שמוביל מספר שילובים ... בנוסף תורת ההסתברות, תעשייה זה חשובה מדע הסטטיסטיקה, מחשב קריפטוגרפיה.

אז עכשיו אתה יכול לעבור את המצגת של עצמם ונוסחאות ההגדרה שלהם.

הראשון שבהם הוא הביטוי עבור מספר תמורות, זה הוא כדלקמן:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

משוואה חלה רק במקרה אם האלמנטים נבדלים זה מזה רק בסדר הגודל של הסדר.

עכשיו שמת נוסחא, זה נראה כמו זה ייחשב:

A_n ^ מ = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ⋅ ... (n - m + 1) = n! : (N - מ ')!

ביטוי זה חל לא רק על הרכיב היחיד לביצוע הזמנות, אלא גם הרכבו.

המשוואה השלישית של קומבינטוריקה, והוא האחרון, כינה את הנוסחה עבור מספר הצירופים:

C_n ^ מ = n! : ((N - מ '))! : M!

שילוב שנקרא דגימה, אשר אינם הורה, בהתאמה, כדי להחיל את הכלל הזה.

עם נוסחאות הקומבינטוריקה בא להבין בקלות, אתה עכשיו יכול ללכת ההגדרה של הסתברות קלאסית. זה נראה כמו ביטוי זה כדלקמן:

P (A) = m: n.

בנוסחא זו, מ - הוא מספר התנאים תורמים האירוע, ו- n - מספר האירועים באותה מידה לחלוטין כל היסודי.

ישנם ביטויים רבים בכתבה לא ייחשבו דבר אבל מושפע יהיה החשוב ביותר כגון, למשל, ההסתברות של אירועים מסתכמים:

P (A + B) = P (A) + P (B) - משפט זה על הוספת אירועים מוציאים בלבד;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - אבל זה רק להוספה תואמת.

ההסתברות של יצירות האירוע:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - משפט זה לאירועים עצמאיים;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - וזאת למשך תלויים.

רשימה הסתיימה נוסחא אירועים. תורת ההסתברות אומרת לנו משפט בייס, אשר נראה כך:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), מ '= 1, ..., n

בנוסחה זו, _{1 H, 2 H,} ..., _n H - הוא מערכת שלמה של השערות.

בתחנה זו, יישום נוסחאות דגימות יילקחו עכשיו בחשבון עבור משימות ספציפיות מהפרקטיקה.

דוגמאות

אם ללמוד בקפידה כל ענף של מתמטיקה, זה לא בלי תרגילים ופתרונות מדגמים. ואת תורת ההסתברות: אירועים, דוגמאות כאן הם מרכיב בלתי נפרד המאשר חישובים מדעיים.

הנוסחה עבור מספר תמורות

לדוגמא, ב חפיסה יש שלושים כרטיסים, החל אחד הנומינלי. השאלה הבאה. כמה דרכים לקפל הסיפון כך קלפים עם ערך נקוב של אחד ושני לא אותרו הבא?

המשימה מוגדרת, עכשיו בואו נמשיך הלאה כדי להתמודד עם זה. ראשית, עליך לקבוע את מספר תמורות של שלושים אלמנטים, למטרה זו ניקח את הנוסחה לעיל, מסתבר P_30 = 30!.

בהתבסס על הכלל הזה, אנחנו יודעים כמה אפשרויות יש לשכב על הסיפון במובנים רבים, אבל אנחנו חייבים ינוכו אותם הם אלה שבהם הכרטיס הראשון והשני יהיה הבא. כדי לעשות זאת, להתחיל עם גרסה, כאשר הראשון נמצא על השני. מתברר כי המפה הראשונה עשויה להימשך עשרים ותשעה מקומות - מן הראשון בעשרים והתשע, ואת הכרטיס השני מהקומה השנייה עד השלושים, הופך עשרים ותשעה מושבים עבור זוגות של קלפים. בתורו, את האחרים יכולים לקחת עשרים ושמונה מושבים, ובכל סדר. כלומר, עבור סידור מחדש של עשרים ושמונה הקלפים עשרים ושמונה אפשרויות P_28 = 28!

התוצאה היא שאם אנו רואים את ההחלטה, כאשר הכרטיס הראשון הוא על ההזדמנות נוספת השנייה כדי לקבל 29 ⋅ 28! = 29!

שימוש באותה השיטה, אתה צריך לחשב את מספר האפשרויות מיותר עבור המקרה כאשר הכרטיס הראשון ממוקם תחת השני. כמו כן השיג 29 ⋅ 28! = 29!

מכאן נובע כי אפשרויות נוספות 2 ⋅ 29!, ואילו אמצעי הכרחי של איסוף הסיפון 30! - 2 ⋅ 29!. נותר רק לחשב.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

עכשיו אנחנו צריכים להכפיל יחד את כל המספרים מאחד עד עשרים ותשע, ואז בסוף כל מוכפל 28. התשובה שהושג 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

דוגמאות של פתרונות. הנוסחה עבור מספר האירוח

בבעיה זו, אתה צריך לברר כמה יש דרכים לשים חמש עשרה כרכים על המדף, אבל בתנאי שרק שלושים כרכים.

במשימה זו, ההחלטה קלה יותר מקודמתה. באמצעות הנוסחה ידועה כבר, יש צורך לחשב את המספר הכולל של שלושים במקומות חמש עשרה כרכים.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ⋅ 28⋅ ... (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... 16 = 202 843 204 931 727 360 000

תגובה, בהתאמה, תהיה שווה 202 843 204 931 727 360 000.

עכשיו לקחת את המשימה קצת יותר קשה. אתה צריך לדעת כמה יש דרכים לסדר את השלושים ושתיים הספרים על המדפים, אך בתנאים כי רק חמש עשרה כרכים עשויים להימצא על אותו המדף.

לפני תחילת ההחלטה מבקש להבהיר כי חלק מהבעיות ניתן לפתרון במספר דרכים, ובזה יש שתי דרכים, אך הן היינו הך הנוסחא מוחלת.

במשימה זו, אתה יכול לקחת את התשובה מזו הקודמת, בגלל שיש לנו מחושב את מספר הפעמים שאתה יכול למלא את המדף במשך חמש עשרה ספרים בדרכים שונות. התברר A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... 16.

הגדוד השני מחושב על ידי גברי הנוסחה, משום שהיא ממוקמת חמש עשרה ספרים, והשאר של חמש עשרה. אנו משתמשים בנוסחה P_15 = 15!.

מתברר כי הסכום יהיה A_30 ^ 15 ⋅ P_15 דרכים, אבל, בנוסף, המוצר של כל המספרים מ שלושים כדי בת שש-עשרה מוכפל המוצר של מספרים מאחד עד חמש-עשרה, בסופו של דבר להתברר המוצר של כל המספרים מאחד עד שלושים, כי היא התשובה הוא 30!

אבל בעיה זו ניתן לפתור בדרך אחרת - קלה יותר. כדי לעשות זאת, אתה יכול לדמיין שיש מדף אחד משלושים ספרים. כולם ממוקמים על המטוס הזה, אבל בגלל המצב דורש כי יש שני מדפים, אחד ארוך אנו ניסור בחצי, שתי פניות חמש עשר. מכאן מתברר כי להסדר זה יכול להיות P_30 = 30!.

דוגמאות של פתרונות. הנוסחה עבור מספר הצירופים של

מי נחשב וריאנט של הבעיה השלישית של קומבינטוריקה. אתה צריך לדעת כמה דרכים יש לארגן עשרה ספרים על המצב שאתה חייב לבחור מתוך שלושים בדיוק אותו הדבר.

לקבלת ההחלטה יהיה, כמובן, להחיל את הנוסחה עבור מספר הצירופים. מהמצב כי מתברר שהסדר באותו רבע הספרים אינו חשוב. אז בהתחלה אתה צריך לברר את המספר הכולל של שילובים של שלושים חמש עשרה ספרים.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

זה הכל. בעזרת נוסחה זו, בזמן הקצר ביותר האפשרי כדי לפתור בעיה כזו, את התשובה, בהתאמה, שווה 155,117,520.

דוגמאות של פתרונות. ההגדרה הקלאסית של הסתברות

באמצעות הנוסחה לעיל, אפשר למצוא תשובה משימה פשוטה. אבל זה בבירור יראה ובצע את הפעולה.

המשימה שניתנה כי בכד ישנם עשרה כדורים זהים לחלוטין. מתוכם, ארבעה צהובים שישה כחול. לקוח מתוך כדור אחד הכדים. יש צורך לדעת את ההסתברות dostavaniya כחול.

כדי לפתור את הבעיה יש צורך לייעד dostavanie א אירוע כדור הכחול ניסיון זה יכול להיות עשר תוצאות, אשר, בתורו, יסודי סבירות באותה מידה. במקביל, שישה מעשרת הם נוחים א אירוע לפתור את הנוסחה הבאה:

P (A) = 6: 10 = 0.6

החלת הנוסחה הזאת, למדנו כי האפשרות dostavaniya הכדור הכחול הוא 0.6.

דוגמאות של פתרונות. ההסתברות של כמות האירועים

מי יהיה גרסה אשר נפתרת באמצעות הנוסחה של הסתברות של כמות האירועים. אז, בהתחשב בתנאי שישנם שני מקרים, הראשון הוא אפור חמישה כדורים לבנים, ואילו השני - כדורי שמונה אפור וארבעה לבן. כתוצאה מכך, התיבות הראשונות והשני השתלטו על אחד מהם. יש צורך לברר מה הסיכוי כי חסר את הכדורים הם אפורים ולבנים.

כדי לפתור בעיה זו, יש צורך לזהות את האירוע.

• לכן, א '- יש לנו כדור אפור של התיבה הראשונה: P (A) = 1/6.
• א "- נורה לבן נלקח גם מהתיבה הראשונה: P (א") = 5/6.
• The - כבר חילוץ הכדור האפור של הצינור השני: P (B) = 2/3.
• ב '- לקח כדור אפור של המגירה השנייה: P (B') = 1/3.

לדברי הבעיה יש צורך כי אחת התופעות קרה: AB "או" ב ' שימוש בנוסחה, נקבל: P (AB ") = 1/18, P (A'B) = 10/18.

עכשיו את הנוסחא של הכפלת ההסתברות שמשה. הבא, כדי לגלות את התשובה, אתה צריך להחיל המשוואה שלהם והוסיפה:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

ככה, לפי הנוסחה, אתה יכול לפתור בעיות כאלה.

תוצאה

העיתון הוצג בפני מידע על "תורת ההסתברות", ההסתברות של אירועים לשחק תפקיד חשוב. כמובן, לא הכל נחשב, אבל על בסיס הטקסט שהוצג, אתה יכול תיאורטית להכיר את הנושא ענף זה של המתמטיקה. מדע נחשב יכול להיות שימושי לא רק בעסק המקצועי, אלא גם בחיי היומיום. אתה יכול להשתמש בו כדי לחשב כל אפשרות של אירוע.

הטקסט גם הושפע תאריכים משמעותיים בהיסטוריה של התפתחות תורת ההסתברות כמדע, ושמות של אנשים שיצירותיהם כבר הכניסו לתוכו. ככה האדם הסקרנות הובילה העובדה שאנשים למדו לספור, אפילו אירועים אקראיים. ברגע שהם מעוניינים רק זה, אבל היום זה כבר ידוע לכל. ואף אחד לא יכול להגיד מה יקרה לנו בעתיד, מה תגליות מבריקות אחרים הקשורים התאוריה נדונה, יהיה מחויב. אבל דבר אחד בטוח - המחקר עדיין לא שווה את זה!