מצולעים קמורים. הגדרה של מצולע קמור. אלכסונים של מצולע קמור

צורות גיאומטריות אלה מקיפים אותנו מכל עבר. מצולעים קמורים הם טבעיים, כגון חלת דבש או מלאכותי (מעשה ידי אדם). נתונים אלה משמשים בייצור סוגים שונים של ציפויים באמנות, אדריכלות, קישוטים, וכו ' יש מצולעים קמורים בנכס הנקודות שלהם לשכב על צד אחד של קו ישר שעובר דרך זוג קודקודים סמוכים של הדמות הגיאומטרית. ישנן הגדרות אחרות. זה נקרא מצולע קמור, אשר מסודרים חצי מטוס בודד ביחס לכל קו ישר המכיל אחד הצדדים שלה.

מצולעים קמורים

במהלך בגיאומטריה יסודית תמיד מטופלי פוליגונים פשוטים מאוד. כדי להבין את המאפיינים של צורות גיאומטריות אתה צריך להבין את הטבע שלהם. כדי להתחיל להבין כי סגור הוא כל קו אשר קצוות זהים. והדמות שהוקמה על ידי זה, יכול להיות מגוון של תצורות. המצולע נקרא polyline הסגור פשוט יחידים סמוך אשר אינם ממוקמות על קו ישר אחד. הקישורים והבלוטות שלו הם, בהתאמה, הצדדים והחולצים של הדמות הגיאומטרית. Polyline פשוט לא חייבים לחצות את עצמה.

קודקודי המצולע נקראים שכנים, במקרה הם הקצוות של אחד הצדדים שלה. צורה גיאומטרית, שבה יש מספר n-th של הקודקודים, ולכן מספר n-th של מפלגות שנקרא n-גון. Itself קו שבור הוא הגבול או קווי המתאר של הצורה הגיאומטרית. מטוס מצולע או מצולע שטוח שנקרא החלק הסופי של כל מטוס, המוגבל שלהם. צדדים סמוכים של הצורה הגיאומטרית נקראים קטעי polyline שמקורם מאותו הקודקוד. הם לא יהיו שכנים אם הם מבוססים על קודקודים שונים של המצולע.

הגדרות אחרות של מצולעים קמורים

בגיאומטריה יסודית, ישנם מספר שווה בהגדרות משמעות, המציין מה נקרא מצולע קמור. יתר על כן, כל ההצהרות הללו הן נכונות. מצולע קמור הוא אחד שיש לו:

• כל פלח שמחבר שתי נקודות כלשהן בתוכו, טמון אך ורק בו;

• בה נמצאים כל האלכסונים שלה;

• כל זווית פנים לא יותר מ 180 מעלות.

המצולע תמיד מחלק את המטוס לשני חלקים. אחד מהם - את מוגבלת (זה יכול להיות מוקף בעיגול), והשני - ללא הגבלה. הראשון נקרא האזור הפנימי, והשני - באזור החיצוני של הצורה הגיאומטרית. זהו צומת של המצולע (או במילים אחרות - רכיב הכולל) מספר חצי מטוסים. לפיכך, כל פלח בעל קצוות בנקודות השייכים מצולע שייך לו לחלוטין.

זנים של מצולעים קמורים

מצולע קמור Definition אינו מציין כי ישנם סוגים רבים מהם. וכל אחד מהם יש קריטריונים מסוימים. לפיכך, מצולעים קמורים, אשר יש זווית פנימית של 180 מעלות, התייחס קמור מעט. הדמות הגיאומטרית הקמורה בעל שלוש פסגות, נקראת משולשת, ארבעה - מרובעים, חמישה - הפנטגון, וכו 'כל אחד n-gons הקמור עומד בדרישות החשובות הבאות: .. N חייב להיות שווה או גדול מ 3. כל אחד המשולשים הם קמורים. הדמות הגיאומטרית מסוג זה שבו כל הקודקודים נמצאים על מעגל, שנקראה המעגל החרוט. מצולע קמור שתואר נקרא אם כל הצדדים שלה סביב מעגל לגעת בה. שני מצולעים נקראים שווים רק במקרה כאשר באמצעות הכיסוי ניתן לשלב. פוליגון שטוח שנקרא מטוס מצולעים (חלק מטוס) כי דמות גיאומטרית מוגבלת זו.

מצולעים קמורים רגילים

פוליגונים רגילים שנקראים צורות גיאומטריות עם זוויות צדדים שווות. בתוכם יש נקודה 0, אשר נמצא באותו מרחק מכל אחד הקודקודים שלה. זה נקרא במרכז הדמות הגיאומטרית. קווים המחבר את המרכז עם הקודקודים של הצורה הגיאומטרית בשם apothem, ואלה להתחבר לנקודת 0 עם הצדדים - רדיוס.

מלבן נכון - מרובע. משולש שווה צלעות נקרא שווה צלעות. עבור צורות כאלה יש את הכלל הבא: בכל זווית מצולע קמור הוא 180 ° * (n-2) / n,

כאשר n - מספר הקודקודים של הצורה הגיאומטרית הקמורה.

שטחו של כל מצולע רגיל נקבעת לפי הנוסחה:

S = P * h,

p שבו הוא השווה למחצית סכום כל הצדדים של המצולע, ו- h הוא אורך apothem.

מאפייני מצולעים קמורים

יש מצולעים קמורים מאפיינים מסוימים. לפיכך, הקטע שמחבר שתי נקודות כלשהן של דמות גיאומטרית, בהכרח הממוקמת אותו. הוכחה:

תניח כי P - המצולע הקמור. קח שתי נקודות שרירותיות, לדוגמה, A ו- B, אשר שייך פ שעל פי ההגדרה הנוכחית של מצולע קמור, נקודות אלה ממוקמות בצד אחד של הקו הישר המכיל לכל כיוון ר כתוצאה מכך, AB יש גם נכס זה והוא כלול פוליגון ר הקמור תמיד ניתן לחלק לכמה משולשים לחלוטין את כל האלכסונים, אשר החזיק אחד הקודקודים שלה.

זוויות וצורות גיאומטריות קמורות

הזוויות של מצולע קמור - זוויות כי נוצרות על ידי הצדדים. פינות בפנים נמצאות באזור הפנימי של הצורה הגיאומטרית. הזווית שנוצרת בצדדיו אשר להתכנס בכל קודקוד, כינה את הזווית של מצולע קמור. פינות סמוכות לפינות הפנימיות של הדמות הגיאומטרית, נקראות חיצוניות. כל פינה של מצולע קמור, מסודר בתוכו, הוא:

180 ° - x

כאשר x - ערך מחוץ לפינה. נוסחה פשוטה זו ישימה לכל סוג של צורות גיאומטריות כגון.

באופן כללי, עבור פינות חיצוני יכול להתקיים בעקבות הכלל: כל זווית מצולע קמור השווה להפרש שבין 180 ° ואת הערך של זווית הפנים. זה יכול להיות ערכים החל -180 מעלות ל 180 מעלות. כתוצאה מכך, כאשר הזווית הפנימית היא 120 מעלות, המראה יהיה ערך של 60 מעלות.

סכום הזוויות של מצולעים קמורים

סכום הזוויות הפנים של פוליגון קמור היא הוקמה על ידי הנוסחה:

180 ° * (n-2),

כאשר n - מספר הקודקודים של n-גון.

סכום הזוויות של מצולע קמור מחושב בפשטות. שקול כל צורה גיאומטרית כאלה. כדי לקבוע את סכום הזוויות ב מצולע קמור צריכים להתחבר לאחד הקודקודים שלה קודקודים אחרים. כתוצאה פעולה זו הופכת (n-2) של המשולש. זה ידוע כי סכום הזוויות של כל משולש הוא תמיד 180 מעלות. בגלל מספרם בכל מצולע שווה (n-2), סכום של זוויות הפנים של הדמות שווה 180 ° x (n-2).

פרטי סכום פינות מצולע קמורות, כלומר, כל סמוך שתי זוויות פנימיות וחיצוניות אליהם, ב צורה גיאומטרית קמורה זה תמיד תהיינה שווה 180 מעלות. על בסיס זה, אנו יכולים לקבוע את הסכום של כל הפינות שלה:

180 x n.

סכום זוויות הפנים הוא 180 ° * (n-2). בהתאם לכך, סכום כל הפינות החיצוניות של הדמות שקבעה את הנוסחא:

180 ° * N-180 ° - (n-2) = 360 °.

סכום הזוויות החיצוניות של כל מצולע קמור תמיד יהיה שווה 360 מעלות (ללא תלות במספר של הצדדים שלו).

בפינה מחוץ מצולע קמור מיוצגים בדרך כלל על ידי ההבדל בין 180 ° ואת הערך של זווית הפנים.

מאפיינים אחרים של מצולע קמור

מלבד התכונות הבסיסיות של נתוני צורות הנדסיות, יש להם גם אחרים, אשר מתרחשים כאשר טיפול בם. לפיכך, כל הפוליגונים עשויים להתפצל מרובים קמור n-gons. כדי לעשות זאת, ממשיכים כל הצדדים שלה וחותכים את הצורה הגיאומטרית לאורך קווים ישרים אלה. פיצול כל מצולע למספר חלקים קמורים אפשרי, כך בראש כל החלקים חופפים עם כל הקודקודים שלה. מדמות גיאומטריות יכול להיות מאוד פשוט לעשות משולשים דרך כל האלכסונים מן הקודקוד אחד. לפיכך, כל מצולע, בסופו של דבר, ניתן לחלק למספר מסוים של משולשים, וזה מאוד שימושי בפתרון משימות שונות הקשורות צורות גיאומטריות כגון.

המערכת של המצולע הקמור

הקטעים של polyline, מפלגות שנקרא מצולע, ציינו פעמים רבות עם האותיות הבאות: ab, bc, CD, דה, EA. בצד זה של דמות גיאומטרית עם קודקודי A, B, C, D, E. סכום אורכי הצלעות של מצולע קמור נקרא ההיקף שלה.

ההיקף של המצולע

מצולעים קמורים ניתן להזין ותארו. משיק מעגל לכל הצדדים של הצורה הגיאומטרית, שנקרא חקוק לתוכו. פוליגון זה נקרא תיאר. מעגל המרכז שהם חרוט המצולע הוא נקודת חיתוך של bisectors של זוויות בתוך צורה גיאומטרית נתונה. שטחו של המצולע שווה:

S = P * r,

כאשר r - רדיוס המעגל הקדשה, ו- p - semiperimeter הפוליגון הזה.

מעגל המכיל את הקודקודים פוליגון, שנקרא תיאר ליד זה. יתר על כן, הצורה הגיאומטרית הקמורה הזה שנקרא חקוקה. המרכז המעגל, אשר מתואר על מצולע כזה הוא נקודת חיתוך שנקראת midperpendiculars כל הצדדים.

צורות גיאומטריות Diagonal קמור

האלכסונים של מצולע קמור - קטע שמחבר לא שכנת קודקודים. כל אחד מהם הוא בתוך צורה גיאומטרית זו. מספר האלכסונים של n-גון מוגדר על פי הנוסחה:

N = n (n - 3) / 2.

מספר האלכסונים של מצולע קמור ממלא תפקיד חשוב בגיאומטריה יסודית. מספר משולשים (K), אשר עשוי לשבור כל מצולע קמור, מחושב על פי הנוסחה הבאה:

K = n - 2.

מספר האלכסונים של מצולע קמור הוא תמיד תלוי במספר הקודקודים.

חלוקה של מצולע קמור

במקרים מסוימים, כדי לפתור משימות בגיאומטריה צורך לשבור מצולע קמור לכמה משולשים עם אלכסונים שאינם מצטלבות. בעיה זו יכולה להיפתר על ידי הסרת נוסחה מסוימת.

הגדרת הבעיה: קורא סוג נכון של מחיצה של קמור n-גוון לכמה משולשים ידי אלכסונים שמצטלבים רק על הקודקודים של דמות גיאומטרית.

פתרון: נניח כי P1, P2, P3, ..., Pn - החלק העליון של n-גון. מספר Xn - מספר המחיצות שלה. לשקול בזהירות את דמות גיאומטרית אלכסוני וכתוצאה Pi PN. בכל המחיצות הרגילות Pn P1 שייך משולש מסוים Pn Pi P1, שבו 1

תן לי = 2 היא קבוצה של מחיצות קבועות, תמיד המכילה Pn P2 האלכסוני. מספר מחיצות הכלולים בו, שווה למספר של מחיצות (n-1) -גון P2 P3 P4 ... Pn. במילים אחרות, זה שווה Xn-1.

אם i = 3, אז מחיצות הקבוצה אחרת יכיל תמיד P1 P3 אלכסוני ו P3 PN. מספר מחיצות נכונות כלולים בקבוצה, יחפוף את מספר המחיצות (n-2) -גון P3, P4 ... Pn. במילים אחרות, זה יהיה Xn-2.

תן לי = 4, אז המשולשים בין למחיצה הנכונה חייב לכלול משולש P1 Pn P4, אשר יהיה לצרף את החצר המרובעת P4 P3 P1 P2, (n-3) -גון P5 P4 ... Pn. מספר מחיצות נכונות מרובע כזה שווה X4, ומספר המחיצות (n-3) -גון שווה Xn-3. בהתבסס על האמור לעיל, אנו יכולים לומר כי המספר הכולל של מחיצות קבועות כלולים בקבוצה זו שווה X4 Xn-3. קבוצות אחרות, שבן i = 4, 5, 6, 7 ... יכיל 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... מחיצות רגילות X7.

תנו לי = n-2, מספר מחיצות נכונה בקבוצה מסוימת יחפוף את מספר מחיצות בקבוצה, שבה i = 2 (או במילים אחרות, שווה Xn-1).

מאז X1 = X2 = 0, X3 = 1 ו X4 = 2, ..., מספר מחיצות של מצולע קמור הוא:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3, Xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 Xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-Xn-1.

לדוגמה:

= X5 X4 + X3 + X4 = 5

= X6 X4 + X5 + X4 + X5 = 14

+ X7 X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

= X7 X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

מספר מחיצות נכונות מצטלב בתוך אחד אלכסוני

כאשר בודקים מקרים בודדים, ניתן להניח כי מספר האלכסונים של n-גוון הקמור הוא שווה למכפלה של כל המחיצות של תבנית התרשים (n-3).

ההוכחה של הנחה זו: נניח כי P1n = Xn * (n-3), אז כל n-גון ניתן לחלק (n-2) הוא משולש. במקרה זה אחד מהם יכול להערם (n-3) -chetyrehugolnik. במקביל, כל רִבּוּעַ היא אלכסונית. מאז צורה גיאומטרית קמורה זה שני אלכסונים יכולים להתבצע, כלומר בכל (n-3) -chetyrehugolnikah רשאי לנהל נוספים אלכסוני (n-3). על בסיס זה, אנו יכולים להסיק כי בכל מחיצה ראויה לו הזדמנות (n-3) פגישת -diagonali הדרישות של משימה זו.

פינת מצולעים קמורים

לעתים קרובות, בפתרון בעיות שונות של גיאומטריה יסודית יש צורך לקבוע את השטח של מצולע קמור. נניח (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n מייצג רצף של קואורדינטות של כל הקודקודים הסמוכים של המצולע, בלית-צמתים עצמית. במקרה זה, שטחו מחושב לפי הנוסחה הבאה:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} y _i + _1)),

שבו (X _1, Y _{1) = (X n 1, Y} n + _1).