פאונים רגילים: סימטריה ואזור אלמנטים

גיאומטריה היא יפה משום שבניגוד אלגברה, וזה לא תמיד ברור למה ומה אתה חושב, נותן אובייקט ויזואלי. עולם נפלא זה של גופים שונים מעטר את הפאונים הסדירים.

מידע כללי על פאונים סדירים

לדברי polyhedrons רב, קבוע, או כפי שהם נקראים מוצקים אפלטוניים, בעלי מאפיינים ייחודיים. עם אובייקטים אלה מחוברים מספר השערות מדעיות. כאשר אתם מתחילים ללמוד את הנתונים הגיאומטריים של הגוף, אתה מבין כי כמעט לא יודע שום דבר על קונספט כגון פאונים הסדירים. המצגת של חפצים אלה בבית הספר לא תמיד מעניין, כל כך הרבה אפילו לא זוכר איך קוראים להם. לזכרה של רוב האנשים הוא רק קובייה. אף אחד הגיאומטריה הגוף לא מחזיק השלמות כגון polyhedrons רגיל. כל השמות של גופים גיאומטריים אלה שמקורה ביוון העתיקה. הם מייצגים את מספר הפרצופים: ארבעון - ארבעה-צדדיים, משושים - אלן, תמניון - מתומן, דודקהדרון - dodecahedral, ואיקוסהדרון - icosahedral. כל גוף הגיאומטרי אלה תופסים מקום חשוב תפיסת אפלטון של היקום. ארבעה מהם מתגלמים אלמנטים או ישויות: ארבעון - האש, ואיקוסהדרון - קוביית המים - אדמה, תמניון - אוויר. תריסרון מגולם כל הדברים. הוא נחשב הראשי, כסמל של היקום.

ההכללה של המושג של פאון

פאון הוא אוסף סופי של פוליגונים כזה:

• כל אחד מהצדדים של כל אחד פוליגונים הוא בעת ובעונה אחת בצד אחד בלבד של מצולע אחר באותו הצד;
• מכל אחד פוליגונים אתה יכול ללכת לצד השני על ידי העברת הסמוכים אליו פוליגונים.

מצולעים המהווים פאון מייצגים פנים שלה הצד שלהם - צלעות. קודקודי פאונים הם הקודקודים של פוליגונים. אם המצולע לטווח להבין קווים מרובים סגורים שטוחים, אז לבוא הגדרה אחת של פאון. במקרה שבו במונח זה נועד חלק של המטוס כי הוא חסום על ידי קווים שבורים, זה יובן משטח מורכב חתיכות מצולעים. פאון קמור נקרא הגוף שוכב בצד אחד של המטוס, סמוך הפרצופים שלה.

הגדרה נוספת של פאון והאלמנטים שלה

הפאון שנקרא משטח מורכב פוליגונים, אשר מגביל את הגוף הגיאומטרי. הם:

• הלא קמור;
• קמור (טוב ורע).

פאון רגיל - הוא פאון קמור עם סימטריה מקסימאלית. אלמנטים של פאונים קבועים:

• ארבעון: 6 צלעות 4 פרצופים 5 קודקודים;
• משושים (קוביה) 12, 6, 8;
• 30 דודקהדרון, 12, 20;
• 12 תמניון, 8, 6;
• ואיקוסהדרון 30, 20, 12.

משפט אוילר

זה קובע כי קיים קשר בין מספר קצוות, קודקודים והפרצופים הם טופולוגית שווה כדור. הוסיף מספר הקודקודים והפרצופים (B + D) יש פאונים סדירים שונים והשוואתן עם מספר הצלעות, אפשר לקבוע כלל אחד: הסכום של מספר הפרצופים שווים למספר של קודקודים וקצוות (P) עלו ב 2. אפשר לגזור נוסחא פשוטה:

• B + D = P + 2.

נוסחה זו תקפה לכל פאונים קמור.

הגדרות בסיסיות

הקונספט של פאון רגיל אי אפשר לתאר במשפט אחד. זה יותר מוערך ונפח. גוף כדי להיות מוכר ככזה, יש צורך כי היא עונה על מספר הגדרות. לפיכך, גוף גיאומטרי יהיה פאון רגיל כאשר התנאים הבאים מתקיימים:

• זה קמור;
• אותו מספר של צלעות מתכנס בכל אחד הקודקודים שלה;
• כל ההיבטים של שלו - פוליגונים רגיל, שווים זה לזה;
• כל זוויות dihedral שווות.

מאפיינים של פאונים סדירים

ישנם 5 סוגים שונים של פאונים קבועים:

1. קיוב (משושים) - יש לו זווית איפקס שטוחה היא 90 מעלות. יש לו זווית 3-צדדית. פן סכום זוויות בשיא של 270 מעלות.
2. ארבעון - זווית איפקס שטוחה של - 60 °. יש לו זווית 3-צדדית. פן סכום זוויות בשיא - 180 המעלות.
3. תמניון - זווית איפקס שטוחה של - 60 °. יש לו זווית ארבעה-צדדית. פן סכום זוויות בשיא - 240 המעלות.
4. תריסרון - זווית איפקס שטוחה של 108 מעלות. יש לו זווית 3-צדדית. פן סכום זוויות בשיא - 324 המעלות.
5. עשרימון - יש לו זווית איפקס שטוחה של - 60 °. יש לו זווית חמש-צדדית. פן סכום זוויות בשיא של 300 מעלות.

האזור של פאונים סדירים

שטח הפנים של גופים גיאומטריים (S) מחושבת כאזור שווה צלעות מוכפל במספר היבטים (G):

• S = (א: 2) x 2G CTG π / p.

היקף פאון רגיל

ערך זה מחושב על ידי הכפלת הנפח של פירמידה רגילה שבסיסו הוא מצולע סדיר, מספר הפרצופים, וגובהה הוא הרדיוס החרוט של הכדור (r):

• V = 1: 3rS.

כרכים של פאונים סדירים

כמו כל פאונים גיאומטריים מוצקים, קבועים אחרים יש כרכים שונים. להלן נוסחאות שבאמצעותו הם יכולים לחשב:

• ארבעון: α x 3√2: 12;
• תמניון: α x 3√2: 3;
• ואיקוסהדרון; α x 3;
• משושים (קוביה): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• דודקהדרון: α x 3 (15 + 7√5): 4.

אלמנטים של פאונים סדירים

משושים ו תמניון הם גופים גיאומטריים כפולים. במילים אחרות, הם עשויים לצאת לזה במקרה centroid של אחד נלקח כמו החלק העליון של אחרים, ולהפך. כמו כן הם ואיקוסהדרון ו דודקהדרון כפול. עצמו רק ארבעון הוא כפול. על פי השיטה של אוקלידס ניתן המתקבל משושים דודקהדרון ידי בניית "גגות" על פניהם של קוביה. הקודקודים של ארבעון הם כל 4 קודקודים של הקובייה, לא זוגות סמוכים לאורך הקצה. מ משושים (קובייה) ניתן להשיג, ואת פאונים סדירים אחרים. למרות העובדה כי פוליגונים רגיל ישנם אין ספור, פאונים סדירים, יש רק 5.

הרדיוס של פוליגונים רגיל

עם כל גופים הגיאומטריים אלה קליפות קונצנטריות מחוברות 3:

• תאר עובר דרך הקודקודים;
• כתוב לגבי כל הפרצופים שלה באמצע זה;
• חציון לגבי כל הקצוות באמצע.

רדיוס הכדור המתואר על ידי הנוסחא הבאה מחושב:

• R = a: 2 x TG π / g x TG θ: 2.

רדיוס כדור החקוקה מחושב כדלקמן:

• R = a: 2 x CTG π / p x TG θ: 2,

איפה θ - זווית dihedral שהינה בין היבטים סמוכים.

רדיוס החציוני של התחום יכול להיות מחושב לפי הנוסחה הבאה:

• ρ = a π / p cos: 2 חטא π / h,

איפה h = סדר הגודל של 4.6, 6.10, או 10. היחס בין הרדיוס של תיאר חקוקה ו סימטרי ביחס p ו- q. זה מחושב כדלקמן:

• R / R = TG π / p x TG π / q.

הסימטריה של פאונים

הסימטריה של הפאונים הרגילים היא עניין ראשוני לגופים הגיאומטריים אלה. מובן כתנועה של הגוף במרחב, מה שמשאיר אותו המספר של קודקודים, פרצופים וקצוות. במילים אחרות, תחת השפעת סימטריה טרנספורמציות קצה, קודקוד, או פנים שומרת למיקומה המקורי, או מהלכים לעמדת המוצא של עוד צלע, הקודקודים או פרצופים אחרים.

אלמנטים של סימטריה של הפאונים הסדירים המשותפים לכל סוגי מוצקים גיאומטריים. הנה זה מתנהל על שינוי זהות, מה שמשאיר כל הנקודות בעמדה המקורית. לכן, כאשר אתם פונים הפריזמה המצולעים יכול לקבל קצת סימטריות. כל אחד מהם יכול להיות מיוצג כתוצר של השתקפות. סימטריה, שהינה תוצר של מספר זוגי של השתקפויות, התקשר אליו ישירות. אם זה הוא תוצר של מספר אי זוגי של השתקפויות, אז זה נקרא משוב. לפיכך, כל אחד בתור סביב הקו מייצג סימטריה ישר. כל פאון השתקפות - הוא הסימטריה ההפוכה.

כדי להבין טוב יותר את אלמנטי הסימטריה של הפאונים הסדירים, אתה יכול לקחת את הדוגמא של ארבעון. כל קו יעבור דרך אחד הקודקודים ואת מרכז הצורה הגיאומטרית, יתקיים, ועל דרך מרכז היפך הקצה אליו. כל אחד לפי התור 120 ו 240 מעלות סביב הקו שייך סימטרית tetrahedral הרבה. מאז אותו 4 קודקודים ופרצופים, אנחנו מקבלים בסך הכל שמונה סימטריות ישירות. כל הקווים העוברים באמצע הקצוות במרכז הגוף, זה עובר באמצע לקצה הנגדי. כל סיבוב של 180 מעלות, שנקרא חצי סיבוב סביב הסימטריה ישר. מאז ארבעון יש שלושה זוגות של צלעות, אתה מקבל שלוש שורות של סימטריה. בהתבסס על האמור לעיל, אנו יכולים להסיק כי המספר הכולל של סימטריה ישירה, וכולל שינוי זהות, יהיה עד שתים עשרה. ארבעון סימטריה ישירה אחר אינו קיים, אבל יש לו 12 סימטריה הפוכה. כתוצאה מכך, רק 24 מאופיין סימטריות ארבעון. למען הסר ספק, אנחנו יכולים לבנות מודל של ארבעון רגיל מקרטון לוודא שהוא הגוף הגיאומטרי באמת יש רק 24 סימטריה.

דודקהדרון ו ואיקוסהדרון - הקרוב ביותר לאזור בגוף. עשרימון יש את המספר הגדול ביותר של פרצופים, זווית dihedral והכי יכול בחוזקה להיאחז בתחום החקוק. תריסרון יש הזווית המוצקה הגדולה פגם הזוויתי הנמוכה ביותר על הקודקוד. זה יכול למקסם למלא בתחום המצומצם.

פאוני סריקה

סריקת פאונים רגילה, אשר כולנו תקועה יחדיו בילדות, יש הרבה מושגים. אם יש קבוצה של פוליגונים, בכל צד של מזוהה עם רק צד אחד של הפאון, זיהוי של הצדדים חייב לעמוד בשני תנאים:

• כל פוליגון, אתה יכול ללכת מצולע בעל זיהוי של הצד;
• צד לזיהוי צריך להיות באותו אורך.

זוהי קבוצה של פוליגונים כי יעמדו בתנאים אלה, והוא נקרא סריקת פאון. כל הגופים הללו יש כמה מהם. לדוגמא, קובייה אחת מהן יש 11 חתיכות.