כנגזרת של פלט קוסינוס

הנגזרת של קוסינוס דומה הנגזרת של סינוס בסיס ראיות - הגדרה של פונקצית הגבול. אפשר להשתמש בשיטה אחרת באמצעות נוסחאות טריגונומטריות לנהיגה זוויות סינוס וקוסינוס. בטא את הפונקציה בזה אחר זה - באמצעות קוסינוס, סינוס, ולבדל עם טיעון מורכב.

קחו למשל את הדוגמה הראשונה של הפלט של הנוסחה (cos (x)) '

תן טיעון Δh תוספת זניחה X מתוך Y = cos (x). אם הערך החדש של הטיעון x + Δh להשיג ערך חדש Cos הפונקציה (x + Δh). ואז להגדיל פונקצית Δu תהיה שווה cos (x + Δx) -Cos (x).
היחס בין פונקצית התוספת יהיה כזה Δh: (cos (x + Δx) -Cos (x)) / Δh. צייר טרנספורמציות זהות וכתוצאה מכך המונה של השבר. cosines ההבדל נוסחה כזכור, התוצאה היא -2Sin עבודה (Δh / 2) כפול sin (x + Δh / 2). אנו מוצאים את מגבלת Lim פרטית מוצר זה על ידי Δh כאשר Δh נוטה לאפס. זה ידוע כי Lim גבול הראשון (המכונה המדהימה) (החטא (Δh / 2) / (Δh / 2)) שווה 1, ולהגביל -Sin (x + Δh / 2) שווה -Sin (x) כאשר Δx, הנוטה אפס.
אנחנו כותבים את התוצאה: הנגזר (cos (x)) "הוא - sin (x).

שמעדיף את השיטה השנייה של גזירה באותה הנוסחא

ידוע מן טריגונומטריה: קוס (x) הוא החטאים שווים (0,5 · Π-x) דומה sin (x) הוא Cos (0,5 · Π-x). ואז גזיר פונקציה מורכבת - הסינוס של זווית נוספת (במקום X קוסינוס).
נקבל את Cos המוצר (0,5 · Π-x) · (0,5 · Π-x)", כי נגזרת של קוסינוס של x הסינוס הוא x. גישה שנייה הנוסחה sin (x) = cos (0,5 · Π-x) החלפת קוסינוס סינוס, רואים כי (0,5 · Π-x) = -1. עכשיו אנחנו מקבלים -Sin (x).
אז, לקחת את הנגזרת של קוסינוס, אנחנו "= -Sin (x) עבור פונקציה y = cos (x).

הנגזרת של קוסינוס בריבוע

דוגמא שימוש תכוף משמשת שבו נגזרת של קוסינוס. הפונקציה y = ² cos (x) מורכבת. אנו מוצאים את פונקצית כוח ההפרש הראשונה עם מעריך 2, כי הוא 2 · cos (x), אז זה מוכפל הנגזר (cos (x))", המהווה -Sin השווה (x). השג y "= -2 · cos (x) · sin (x). כאשר נוסחא חטאים ישימה (2 · x), הסינוס של הזווית הכפולה, להשיג בגמר פשוט
בתגובה y "= -Sin (2 · x)

היפרבוליות

אם איישם את המחקר של דיסציפלינות טכניות רבות במתמטיקה, למשל, להקל לחשב אינטגרלים, פתרון של משוואות דיפרנציאליות. הם מבוטאים במונחים של פונקציות טריגונומטריות עם טיעונים דמיוניים, כך ch קוסינוס היפרבולי (x) = cos (i · x) איפה אני - היא יחידה מדומה, sh הסינוס ההיפרבולי (x) = חטא (i · x).
קוסינוס היפרבולי מחושב פשוט.
קחו למשל את הפונקציה y ^{= (ה x + e -x)} / 2, זהו פרק קוסינוס היפרבולי (x). באמצעות שלטון מציאת נגזרת בסכום של שני ביטויים, הסרת בדרך כלל מכפיל קבוע (Const) עבור השלט של הנגזר. המונח השני של 0.5 · e ^-x - פונקציה מורכבת (נגזרת שלה הוא -0.5 · e ^-x), 0.5 · F ^x - המונח הראשון. (CH (x)) '= ((e ^x + e ^{- x)} / 2)' יכול להיכתב בצורה שונה: (0,5 · e · ^x + 0.5 e ^{- x)} "= 0,5 · ^x e -0,5 · e ^{- x,} מכיוון הנגזר (ה ^{- x)} "שווה -1, כדי umnnozhennaya e ^{- x.} התוצאה היתה הבדל, וזה sh הסינוס ההיפרבולי (x).
מסקנה: (CH (x)) "= sh (x).
Rassmitrim דוגמה כיצד לחשב את הנגזרת של הפונקציה y = CH (x ³ 1).
על ידי שלטון בידול קוסינוס היפרבולי עם y טיעון מורכב '= sh (x ³ 1) · (x ³ 1)' שם (x ³ + 1) = 3 · x ² + 0.
ת: הנגזרת של פונקציה זו היא שווה 3 · x ² · sh (x ³ 1).

נגזר דן פונקציות ch = y (x) ו- y = cos (x) טבלה

על פי החלטת הדוגמות אין צורך בכל פעם כדי לבדל אותם על התכנית המוצעת, להשתמש בפלט מספיק.
דוגמה. צור הבדלים בין הפונקציה y = cos (x) + Cos ² (-x) -Ch (5 · x).
קל לחשב (שימוש נספר נתונים), y "= -Sin (x) + sin (2 · x) -5 · ש (x · 5).