גאוס: דוגמאות של פתרונות במקרים מיוחדים

שיטת גאוס, המכונית גם שיטת החיסול ההדרגתי של משתנים לא ידועים, על שמו של המדען הגרמני הבולט KF גאוס, בעודם בחיים קיבל את התואר הלא רשמי "המלך של המתמטיקה." עם זאת, שיטה זו כבר ידוע הרבה לפני הלידה של הציוויליזציה האירופית, אפילו במאה לי. לפנה"ס. e. חוקרים סינים עתיקים השתמשו בו בכתביו.

גאוס היא דרך קלאסית לפתרון מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות (סלו). הוא אידיאלי עבור פתרון מהיר כדי המטריצות בגודל המוגבלות.

השיטה עצמה מורכבת משני מהלכים: קדימה לאחור. כמובן ישיר שנקראו הרצף המוצג בצורה משולשת SLAE, כלומר אפס ערך תחת האלכסון המרכזי. ביטול בקשה כרוכה הממצא העקבי של משתנים, המבטאים כל משתנה דרך הקודם.

למד ליישם בפועל, גאוס רק מספיק כדי לדעת את הכללים הבסיסיים של כפל, חיבור וחיסור של מספרים.

על מנת להדגים את האלגוריתם לפתרון מערכות לינאריות על ידי שיטה זו, נסביר דוגמא אחת.

אז, להיפתר באמצעות גאוס:

x + 2Y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2Y-2z = -6

אנחנו צריכים את השורות השניות ושלישיות כדי להיפטר x משתנית. על כך נוסיף לו את להכפילם תחילה על ידי -2, ו -4, בהתאמה. אנחנו מקבלים:

x + 2Y + 4z = 3
2Y + 3z = 0
-10y-18z = -18

עכשיו בקו 2 להכפיל ידי 5 ולהוסיף אותו השלישי:

x + 2Y + 4z = 3
2Y + 3z = 0
-3z = -18

הבאנו המערכת שלנו צורה משולשת. עכשיו אנחנו לבצע הפוכים. אנחנו מתחילים עם השורה האחרונה:
-3z = -18,
z = 6.

השורה השנייה:
2Y + 3z = 0
2Y + 18 = 0
2Y = -18,
y = -9

השורה הראשונה:
x + 2Y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

נציב את ערכי המשתנים המופיעים בנתונים המקוריים, אנו לוודא את נכונות ההחלטה.

דוגמא זו ניתן לפתור הרבה שום החלפות אחרות, אבל התשובה אמורה להיות זהה.

זה כל כך קורה כי האלמנטים המובילים של השורה הראשונה מסודרים עם ערכים קטנים מדי. זה לא מפחיד, אלא מסבך את החישובים. הפתרון הוא גאוס עם סובבת על טור. מהותו היא כדלקמן: השורה הראשונה של המקסימום בקשה אלמנט מודולו, בטור שבו הוא נמצא, במקומות שינוי עם הטור 1, כי הוא האלמנט המקסימלית שלנו הופך את האלמנט הראשון של האלכסון הראשי. הבא הוא תהליך חישוב סטנדרטי. במידת הצורך, הליך משנה את העמודות במקומות מסוימים ניתן לחזור.

גרסה נוספת של השיטה היא שיטת גאוס גאוס-ירדן.

הוא משמש לפתרון מרובע מערכות לינאריות, כאשר המטריצה ההופכי של מטריקס ולדרג (מספר השורות השונות מאפסות).

המהות של שיטה זו היא כי המערכת המקורית הופכת משינויי מטריצת היחידה עם משתנה ממצא נוסף.

האלגוריתם הוא שהיא:

1. המערכת של משוואות היא, כמו בשיטת גאוס, צורה משולשת.

2. כל שורה מחולקת למספר מסוים באופן שיחיד הפך באלכסון הראשי.

3. השורה האחרונה מוכפלת מספר מסוים ונוכתה הלפני האחרון כדי לא לעלות על 0 באלכסון הראשי.

4. שלב 3 חוזר על עצמו ברצף עבור כל השורות עד שבסופו של דבר לא יוצר מטריצת היחידה.